低标注率下图拉普拉斯半监督学习的收敛速率

我们研究低标注率下的基于图的拉普拉斯半监督学习。拉普拉斯学习利用图上的调和扩展来传播标签。在极低标注率下，拉普拉斯学习变得退化，解在每個标注数据点处近似为常数并出现尖峰。先前工作表明，当标注数据点数有限而未标注数据点数趋于无穷时会发生这种退化。本工作中我们允许标注数据点数随标签数增长至无穷。我们的结果表明，对于尺度参数 $\varepsilon>0$、标注率 $\beta>0$ 的随机几何图，若 $\beta \ll\varepsilon^2$ 则解退化并形成尖峰，若 $\beta\gg \varepsilon^2$ 则拉普拉斯学习适定且与连续拉普拉斯方程一致。此外，在适定情形下，我们证明了离散问题与连续 PDE 解之间差异的定量误差估计为 $O(\varepsilon\beta^{-1/2})$（至多相差对数因子）。我们还研究了 $p$-拉普拉斯正则化，并给出当 $\beta \ll \varepsilon^p$ 时同样的退化结果。我们适定性结果的证明使用了拉普拉斯学习的随机游走解释与 PDE 论证，而不适定性结果的证明使用了变分法中的 $\Gamma$-收敛工具。我们还给出了合成与真实数据上的数值结果以说明我们的结论。