有限标签下半监督学习中分数图拉普拉斯正则化的一致性

拉普拉斯学习是一种流行的机器学习算法，用于利用图的几何结构从少量带标签特征向量中找出缺失标签。更确切地说，拉普拉斯学习基于最小化图狄利克雷能量（等价于离散索伯列夫 $\Wkp{2}{1}$ 半范数），并约束在给定子集上取已知标签的值。由于在任何高于一维的情形中连续狄利克雷能量极小化子缺乏正则性，当未标签特征向量数量趋于无穷而给定标签有限时，该变分问题在渐近意义下是病态的。特别地，连续极小化子不连续。一种解决方案是考虑高阶正则化，即最小化索伯列夫 $\Wkp{s}{2}$ 半范数的类比。本文我们考虑带点约束的图变体索伯列夫 $\Wkp{s}{2}$ 半范数最小化的渐近性。我们表明，正如预期，需要 $s>d/2$，其中 $d$ 为数据流形的维数。我们还表明，图的连通性必须有一个上界；也就是说，即使 $s>d/2$，高度连通的图也会导致极小化子的退化行为。