从有向无权图恢复度量

我们分析由$x_i\in \mathbb{R}^d$通过连接顶点$i$到$j$当且仅当$|x_i - x_j| < \epsilon(x_i)$时得到的有向无权图。此类图的例子包括$k$-最近邻图，其中$\epsilon(x_i)$逐点变化，以及可以说许多现实世界的图，如共同购买图。我们探究在仅给定有向图和$d$的情况下，能否恢复底层的欧几里得度量$\epsilon(x_i)$和关联的密度$p(x_i)$。我们证明，当顶点度至少为$\omega(n^{2/(2+d)}\log(n)^{d/(d+2)})$时，在等距缩放意义下的一致恢复是可能的。我们的估计量基于对有向图上随机游走及其关联的连续极限的细致刻画。作为一种算法，它类似于PageRank中心性度量。我们通过实验证明，该估计量在模拟示例以及现实世界的共同购买图上表现良好，即使在点数较少且度缩放低至$\log(n)$的情况下也是如此。