随机几何图的重构：打破 Omega(r) 失真壁垒

将图嵌入地理或潜在空间，即在欧几里得空间或光滑流形或子流形上推断顶点位置，是网络分析、统计推断和图可视化中的常见任务。我们考虑经典的随机几何图模型：将 $n$ 个点均匀散布在面积为 $n$ 的正方形中，当且仅当两点间欧几里得距离小于 $r$ 时它们之间有边相连。重构问题则在于仅给定所得图的邻接矩阵，在正方形对称意义下推断顶点位置。我们给出一种算法，若 $r=n^\alpha$ 对任意 $\alpha > 0$，该算法以高概率重构顶点位置，最大误差为 $O(n^\beta)$，其中 $\beta=1/2-(4/3)\alpha$，直到 $\alpha \ge 3/8$ 时 $\beta=0$ 且误差变为 $O(\sqrt{\log n})$。这改进了早期无法以小于 $r$ 的误差重构的结果。我们的方法利用图距离和基于公共邻居数的短程估计的混合来估计欧几里得距离。我们将结果推广到 $\R^3$ 中的球面以及任意常数固定维度的超立方体。此外，我们考察了当原始邻接表被随机独立删除部分边时，重构在多大程度上仍可行。