关于偏向超立方布尔函数的傅里叶熵下界

我们通过傅里叶（谱）熵的视角研究 $p$ 偏向超立方上的布尔函数，即平方 $p$ 偏向傅里叶系数的香农熵。受最近基于限制的上界试图解决傅里叶-熵-影响（FEI）猜想的启发，我们证明了一个互补且尖锐的下界，将熵分解为坐标贡献。设 $q:=4p(1-p)$，并定义 $\Psi:[0,\tfrac12]\to[0,\ln 2]$ 为 $\Psi(t):=h\left(\frac{1+\sqrt{1-4t^2}}{2}\right)$，其中 $h(u):=-u\ln u-(1-u)\ln(1-u)$。我们证明，对每一个布尔函数 $f:(\{0,1\}^n,\mu_p^n)\to\{\pm1\}$，都有 $$\mathrm{Ent}_p(f) \ge \sum_{k=1}^n \Psi\left(\sqrt{q(1-q)}\cdot\mathrm{Inf}_k^{(p)}[f]\right).$$ 当 $p\neq \tfrac12$ 时，该下界是尖锐的，若且仅当 $f$ 为奇偶函数时等号成立。我们的证明将限制-矩框架适用于偏向立方。