通过字典序函数改进傅里叶熵/影响猜想的下界

每个布尔函数都可唯一表示为一个多线性多项式。熵与总影响是度量其傅里叶系数(即该表示中的单项式系数)集中程度的两种方式:熵大致度量其散布,而总影响度量其平均层级。Friedgut 与 Kalai 于 1996 年提出的傅里叶熵/影响猜想指出,熵与影响之比被一个通用常数 $C$ 所界。利用字典序布尔函数,我们给出了三个明确的渐近构造,改进了 O'Donnell 与 Tan 通过递归组合得到的先前最佳已知下界 $C>6.278944$。第一个使用他们的构造结合测度为 $2/3$ 的字典序函数 $\ell\left\langle 2/3\right\rangle$ 来证明 $C\ge4+3\log_{4}3>6.377444$。第二个将他们的构造推广到偏置函数,并利用 $\ell\left\langle \Phi\right\rangle$ 得到 $C>6.413846$,其中 $\Phi$ 为黄金分割比的倒数。第三个独立的构造给出 $C>6.454784$,即便对单调函数亦成立。除了对 $C$ 值的适度改进外,我们的构造还为该猜想潜在反例所寻求的性质提供了一些新的认识。此外,我们证明了总影响与谱熵上的一个 Lipschitz 型条件,这或许具有独立意义。