迈向傅里叶熵猜想的证明？

函数的全影响是布尔函数分析中的核心概念，刻画具有小全影响的函数是与之相关的最基本问题之一。KKL 定理与 Friedgut junta 定理在总影响上界为 $o(\log n)$ 时给出了此类函数的强刻画。然而，当函数全影响为 $\omega(\log n)$ 时，这两个结果均失效。打破此对数壁垒的唯一有趣函数类情形由 Bourgain 和 Kalai 证明，他们聚焦于在 $S_n$ 的足够大子群下对称的函数。本文中，我们构建并改进 Bourgain-Kalai 论文的技术，建立了具有小全影响的布尔函数傅里叶谱上的新集中结果。我们的结果包括：1. 对 Bourgain--Kalai 关于传递对称函数全影响结果的定量改进。2. Friedgut 与 Kalai 的傅里叶熵猜想的一个稍弱版本。此较弱版本特别地蕴含：方差为常数的布尔函数 $f$ 的傅里叶谱集中于 $2^{O(I[f]\log I[f])}$ 个字符上，改进了 Friedgut 的早期结果。去除 $\log I[f]$ 因子将基本解决傅里叶熵猜想，并平息 Mansour 关于多项式大小 DNF 公式傅里叶谱的猜想。我们的集中结果在学习理论中有新推论：它蕴含总影响不超过 $K$ 的函数类可在时间 $2^{O(K\log K)}$ 内使用成员查询进行不可知学习。