变量集合影响力的 KKL 定理

考虑一个定义在 n 维超立方体上的布尔函数 f，以及一个变量集合（索引为）$S \subset \{1,2,\ldots,n\}$。变量 S 对函数 f 的联合影响力是指在随机赋值不在 S 中的变量后，函数 f 值对 S 中所有变量都依赖的概率。本文研究了一种称为联合影响力的互补概念：即在随机赋值不在 S 中的变量后，函数 f 值对 S 中所有变量都依赖的概率。我们证明，对于任意固定的 d，每一个定义在 n 个变量上的布尔函数 f 都 admits 一个 d 集的联合影响力至少为 $\tfrac{1}{10} W^{\geq d}(f) (\frac{\log n}{n})^d$，其中 $W^{\geq d}(f)$ 是 f 在度至少为 d 处的傅里叶权重。该结果是卡恩-卡拉-林ial 定理的一个直接推广。进一步，我们给出一个示例说明上述界限的必需性。