布尔立方体上函数的傅里叶谱

设 $f$ 为定义在 $n$ 维布尔立方体 $\{\pm 1\}^{n}$ 上的实值、度-$d$ 布尔函数，且 $f(x) = \sum_{S \subset \{1,\ldots,d\}} \widehat{f}(S) \prod_{k \in S} x_k$ 为其傅里叶-沃尔什展开。主要结果表明，存在绝对常数 $C >0$，使得 $f:\{\pm 1\}^{n} \rightarrow [-1,1]$ 的傅里叶系数的 $\ell_{2d/(d+1)}$ 和的上界为 $\leq C^{\sqrt{d \log d}}$。最近已证明类似结果对 $n$ 维环面 $\mathbb{T}^n$ 上的复值多项式成立，但与此相反，将 $n$ 维环面 $\mathbb{T}^n$ 替换为 $n$ 维立方体 $[-1, 1]^n$ 会导致估计显著变弱。在布尔情形下，这迫使我们发明不同于复或实情形所用技术的新技术。我们指出我们的结果与量子信息论中的若干问题如何关联。