对称函数的谱范数

布尔函数 $f:\{0,1\}^n \to \{-1,1\}$ 的谱范数是指其傅里叶系数绝对值之和。该量在学习理论、电路复杂性和通信复杂性等领域为函数的复杂性提供了有用的上下界。本文给出了对称函数谱范数的一个组合刻画。我们证明，谱范数的对数与 $r(f)\log(n/r(f))$ 同阶，其中 $r(f) = \max\{r_0,r_1\}$，而 $r_0$ 和 $r_1$ 是小于 $n/2$ 的最小整数，使得对于所有满足 $\sum x_i \in [r_0, n-r_1]$ 的 $x$，$f(x)$ 或 $f(x) \cdot parity(x)$ 为常数。我们还提到了该结果在对称函数的决策树和通信复杂性中的一些应用。