小总影响偏置布尔函数的 DNF 近似

布尔函数 $f:\{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\}$ 的第 $k$ 个坐标的影响是指翻转 $x_k$ 改变 $f(x)$ 值的概率。总影响 $I(f)$ 是各坐标影响之和。Friedgut (1998) 著名的“Junta 定理”断言，若 $I(f) \leq M$，则 $f$ 可被一个依赖于 $O(2^{M/\epsilon})$ 个坐标的函数 $\epsilon$-近似。Friedgut 定理在数学和理论计算机科学中有广泛应用。对于期望 $E[f]=\mu$ 的偏置函数，立方体上的边等周不等式蕴含 $I(f) \geq 2\mu \log(1/\mu)$。Kahn 和 Kalai (2006) 本着 Junta 定理的精神提问：是否存在任意 $f$ 满足 $I(f)$ 处于最小值的常数倍内，可被大小为“小”的 DNF（析取范式） $\epsilon \mu$-近似。我们通过证明如下结构定理回答该问题：若 $I(f) \leq 2\mu(\log(1/\mu)+M)$，则 $f$ 可被大小为 $2^{2^{O(M/\epsilon)}}$ 的 DNF $\epsilon \mu$-近似。对 $M$ 的依赖性在双指数常数因子范围内是最优的。