乘积概率空间上的决策树与变量影响

Friedgut 的一个著名定理指出，每个函数 $f:\{0,1\}^n \to \{0,1\}$ 都可以被一个函数 $g:\{0,1\}^n \to \{0,1\}$ 逼近，满足 $\|f-g\|_2^2 \le \epsilon$，且 $g$ 仅依赖于 $e^{O(I_f/\epsilon)}$ 个变量，其中 $I_f$ 是 $f$ 的各变量影响之和。Dinur 与 Friedgut 后来证明，若用连续域 $[0,1]^n$ 替代离散域 $\{0,1\}^n$，在 $f$ 为递增的额外假设下该结论仍成立。他们猜想单调性条件是多余的，可以去掉。我们证明某些常深度决策树给出了 Dinur-Friedgut 猜想的反例。这提示对该猜想的一个重构：函数 $g:[0,1]^n \to \{0,1\}$ 不依赖于少量变量，而是具有小深度的决策树。实际上我们证明了这一重构，即 $g$ 的决策树深度可被 $e^{O(I_f/\epsilon^2)}$ 界定。此外，我们考虑了变量影响的第二种概念，并研究了具有此种有界总影响的那些函数。我们利用 Bourgain 的一个定理证明这些函数具有某些性质。我们还研究了这两种不同影响概念之间的关系。