每个决策树都有一个有影响的变量

我们证明，对任何计算布尔函数 $f:\{-1,1\}^n\to\{-1,1\}$ 的决策树，都有 $$\Var[f] \le \sum_{i=1}^n \delta_i \Inf_i(f),$$ 其中 $\delta_i$ 为读取第 $i$ 个输入变量的概率，$\Inf_i(f)$ 为该变量对 $f$ 的影响力。方差、影响力与概率均依据任意积分布在 $\{-1,1\}^n$ 上取值。由此可得，计算给定平衡函数的决策树的最小深度至少为该函数任一输入变量影响力的倒数。同样地，深度为 $d$ 的平衡布尔函数的决策树必然拥有一个影响力至少为 $\frac{1}{d}$ 的变量。已知唯一的非平凡下界为 $\Omega(d 2^{-d})$。本不等式可推广，以证明随机化决策树、任意积概率空间上的决策树以及非布尔输出决策树的影响力下界。作为应用，我们给出一种极其简洁的证明，表明非平凡单调图属性的随机查询复杂度至少为 $\Omega(v^{4/3}/p^{1/3})$，其中 $v$ 为顶点数，$p \le \half$ 为临界阈值概率。这一结果超越了 Hajnal 的里程碑 $\Omega(v^{4/3})$ 下界，也在某些情况下优于 Chakrabarti-Khot 与 Friedgut-Kahn-Wigderson 已知的最佳下界。