论弱单向函数的存在性

本说明尝试无条件地证明弱单向函数 (OWF) 的存在性。从一个可证明棘手的判定问题 $L_D$（其存在性由复杂性理论中著名的离散时间层级定理非构造性地保证）出发，我们构造了另一个棘手的判定问题 $L\subseteq \{0,1\}^*$，其词以相对频率 $p(\ell)$ 散布于 $\{0,1\}^\ell$ 中，并且可以求出其上下界。$p(\ell)$ 的值由语言在 $\{0,1\}^\ell$ 内的密度除以总词数 $2^\ell$ 计算得出。它对应于在 $\{0,1\}^\ell$ 中均匀随机抽取时获得判定问题肯定实例的概率。寻找一个在 $p(\ell)$ 上具有已知界限的语言的技巧依赖于从 $L_D$ 切换到 $L_0:=L_D\cap L'$，其中 $L'$ 是一个易于判定且在 $\{0,1\}^*$ 上具有已知密度的语言。在正确定义 $L'$ 时（并经过适当的 G"odel 编号），判定 $L_D\cap L'$ 的难度继承自 $L_D$，而其密度则由 $L'$ 的密度控制。随后，对 $p(\ell)$ 的下限和上限近似使我们能够构造一个显式的阈值函数（如随机图论中所示），该函数可用于高效且有目的地采样判定问题（语言）$L_0$ 的肯定或否定实例（然而，不包含任何可能简化判定的辅助信息，如多项式见证）。反过来，这允许我们构造一个弱 OWF，它通过高效（在多项式时间内）发出一系列随机构造的棘手判定问题来编码比特串 $w\in\{0,1\}^*$，这些问题的答案对应于原像 $w$。