从幂指数部分信息重构加权投票方案

近期若干工作 [Goldberg 2006; O'Donnell and Servedio 2011; De, Diakonikolas, and Servedio 2017; De, Diakonikolas, Feldman, and Servedio 2014] 考虑了如下问题：给定表征个体投票者对其最终结果控制水平的各类“幂指数”信息，近似重构未知的加权投票方案。用理论计算机科学的语言来说，这是在 $\{-1, 1\}^n$ 上给定某种数值度量（例如函数的 $n$ 个“Chow 参数”，亦称其一阶傅里叶系数，或其 $n$ 个 Shapley 指数）以刻画 $n$ 个个体输入变量各自对函数结果的影响程度，从而近似一个未知线性阈值函数（LTF）的问题。在本文中，我们考虑仅给定 LTF 的 Chow 参数或 Shapley 指数的部分信息来重构该 LTF 的问题；即我们仅给定对应于 $n$ 个输入变量中某个子集 $S \subseteq [n]$ 的 Chow 参数或 Shapley 指数。在此部分信息设定下的一个自然目标是：找到一个 LTF，其在 $S$ 中索引对应的 Chow 参数或 Shapley 指数能准确匹配未知 LTF 的给定 Chow 参数或 Shapley 指数。我们将此称为部分逆幂指数问题。我们的主要结果包括：针对（$\varepsilon$-近似）Chow 参数部分逆幂指数问题的多项式时间算法，以及针对（$\varepsilon$-近似）Shapley 指数部分逆幂指数问题的拟多项式时间算法。