Chow 参数问题的近最优解与半空间的低权重逼近

布尔函数 $f: \{-1,1\}^n \to \{-1,1\}$ 的 \emph{Chow 参数} 是其 $n+1$ 个 0 阶和 1 阶 Fourier 系数。自 1961 年 (Chow, Tannenbaum) 起便已知道，任何线性阈值函数 $f$ 的 Chow 参数（精确值）在所有布尔函数空间中唯一确定 $f$，但直到最近 (O'Donnell 和 Servedio)，对于从其 Chow 参数的精确或近似值\emph{重构} $f$（精确或近似）的高效算法才有所了解。我们将此重构问题称为 \emph{Chow 参数问题}。我们的主要结果是针对 Chow 参数问题的一种新算法，给定任何线性阈值函数 $f$ 的 Chow 参数（或足够精确的近似值），该算法运行时间为 $\tilde{O}(n^2)\cdot (1/\eps)^{O(\log^2(1/\eps))}$，并以高概率输出一个与 $f$ 的距离为 $\eps$ 的 LTF $f'$ 的表示。此前唯一的算法 (O'Donnell 和 Servedio) 的运行时间为 $\poly(n) \cdot 2^{2^{\tilde{O}(1/\eps^2)}}$。作为我们方法的副产品，我们证明了对于 $\{-1,1\}^n$ 上的任何线性阈值函数 $f$，存在一个与 $f$ 的距离为 $\eps$ 的线性阈值函数 $f'$，且其所有权重均为不超过 $\sqrt{n} \cdot (1/\eps)^{O(\log^2(1/\eps))}$ 的整数。这显著改进了 Diakonikolas 和 Servedio 给出 $\poly(n) \cdot 2^{\tilde{O}(1/\eps^{2/3})}$ 权重界限的先前最佳结果，并且接近已知的下界 $\max\{\sqrt{n},$ $(1/\eps)^{\Omega(\log \log (1/\eps))}\}$ (Goldberg, Servedio)。我们的技术还为学习理论中的相关问题产生了改进的算法。