d 次 Chow 参数稳健确定 d 次 PTF（及算法应用）

布尔函数 $f: \{-1,1\}^n \to \mathbb{R}$ 的 d 次 Chow 参数是其次数至多为 $d$ 的傅里叶系数。众所周知，d 次 Chow 参数在所有有界函数空间中唯一刻画 d 次多项式阈值函数（PTF）。本文证明该定理的一个稳健版本：对 $f$ 任意布尔 d 次 PTF 与 $g$ 任意有界函数，若 $f$ 的 d 次 Chow 参数与 $g$ 的 d 次 Chow 参数在 $\ell_2$ 范数下接近，则 $f$ 与 $g$ 在 $\ell_1$ 距离下接近。值得注意的是，我们关联两距离的上界完全独立于维数 $n$。即我们表明布尔 d 次 PTF 可由其 d 次 Chow 参数稳健辨识。此类结果此前仅对 $d=1$ 情形被证明过~\cite{OS11:chow, DeDFS14}，而对 $d >1$ 此前未知任何非平凡上界。我们的稳健可辨识性结果给出如下算法应用：首先，我们表明布尔 d 次 PTF 可由其 d 次 Chow 参数的近似高效近似重构。这立即蕴含 d 次 PTF 在均匀分布 $d$-RFA 模型下可被高效学习~\cite{BenDavidDichterman:98}。作为我们方法的副产品，我们也获得了 $d>1$ 时 d 次 PTF 的首个低整数权值近似。作为第二应用，我们的稳健可辨识性结果给出了首个具有维数无关误差保证的、均匀分布下布尔 d 次 PTF 恶意学习的高效算法。