多项式阈值函数的平均敏感性与噪声敏感性
计算复杂性
2009-10-19 v2 离散数学
摘要
我们给出了d次多项式阈值函数（PTF）的平均敏感性和噪声敏感性的首个非平凡上界。这些界同时适用于布尔超立方体上的PTF和标准n维高斯分布下R^n上的PTF。我们对布尔平均敏感性的界标志着向解决Gotsman和Linial猜想（参考文献[GL:94]）的进展，该猜想指出，切割布尔超立方体中间d层的对称函数在所有d次PTF中具有最高的平均敏感性。通过Kalai等人的L1多项式回归算法（参考文献[KKMS:08]），我们在高斯和布尔噪声敏感性上的界为这些输入分布下常次数PTF的广泛类别提供了多项式时间的不可知学习算法。在高斯设定下获得PTF平均和噪声敏感性界的主要工具是高斯随机变量中低次多项式的尾部界和反集中界（参考文献[Janson:97, CW:01]）。为了获得布尔PTF平均敏感性的界，我们将Servedio（参考文献[Servedio:07cc]）的“临界指数”机制（该工作适用于半空间，即1次PTF）推广到一般PTF。结合MOO（参考文献[MOO:05]）的“不变性原理”，这使我们能够将技术从高斯设定扩展到布尔设定。我们通过一个简单的归约，从布尔PTF平均敏感性的上界得到相应的噪声敏感性上界。
引用
@article{arxiv.0909.5011,
title = {Average sensitivity and noise sensitivity of polynomial threshold functions},
author = {Ilias Diakonikolas and Prasad Raghavendra and Rocco A. Servedio and Li-Yang Tan},
journal= {arXiv preprint arXiv:0909.5011},
year = {2009}
}
备注
added proofs for non-multilinear PTFs over Gaussian random variables, added discussion section