可测试学习多项式阈值函数

Rubinfeld和Vasilyan最近引入了可测试学习的框架，作为经典不可知模型的扩展。它放宽了难以验证的分布假设，代之以可以通过测试器高效检查的条件。当数据真正满足原始假设时，测试器必须接受，并且当测试器接受时，学习器必须成功。我们关注测试器必须接受标准高斯数据的情况。在那里，已知像半空间这样的基本概念类可以以与（特定分布）不可知模型相同的时间复杂度进行可测试学习。在这项工作中，我们询问可测试学习更复杂的概念类是否需要付出代价。特别地，我们考虑多项式阈值函数，它自然地推广了半空间。我们证明，任意常数次的多项式阈值函数可以在时间$n^{\mathrm{poly}(1/\varepsilon)}$内可测试学习到超额误差$\varepsilon > 0$。这在性质上与不可知模型中已知的最佳保证相匹配。我们的结果建立在可测试学习与愚弄之间的联系上。特别地，我们表明，近似匹配标准高斯至少$\mathrm{poly}(1/\varepsilon)$阶矩的分布可以愚弄常数次多项式阈值函数（误差在$\varepsilon$以内）。作为次要结果，我们证明了一种直接展示可测试学习（无需愚弄）的方法，该方法已成功用于半空间，但不能用于多项式阈值函数。