逆 Shapley 值问题

对于由 $n$ 名投票者在两名候选人之间进行选择的加权投票方案 $f$，其 $n$ 个\emph{Shapley-Shubik 指数}（或\emph{Shapley 值}）衡量了每位投票者对投票总体结果的控制程度。Shapley-Shubik 指数由 Lloyd Shapley 和 Martin Shubik 于 1954 年引入\cite{SS54}，作为衡量投票者“影响力”的指标在社会选择理论中被广泛研究。\emph{逆 Shapley 值问题}旨在设计一个加权投票方案，使其（近似）实现给定的 Shapley-Shubik 指数输入向量。尽管对该问题兴趣浓厚，但在我们的工作之前，尚无已知具有可证明正确性且高效的算法。我们给出了首个针对逆 Shapley 值问题且具有可证明性能保证的高效算法。对于任意常数 $\eps > 0$，我们的算法在固定的 poly$(n)$ 时间内运行（多项式的次数独立于 $\eps$），并具有以下性能保证：给定所需的 Shapley 值向量作为输入，如果存在某个“合理”的加权投票方案（大致指阈值不过分偏斜的方案）能在较小误差范围内近似匹配该目标向量，则我们的算法能显式输出一个加权投票方案，使其实现的 Shapley 值向量与目标向量的误差在 $\eps$ 以内。若存在一个“合理”的投票方案，其所有投票权重均为不超过 $\poly(n)$ 的整数，且能近似实现所需的 Shapley 值，则我们的算法在 $\poly(n)$ 时间内运行，并输出一个加权投票方案，使其实现的目标 Shapley 值向量误差在 $\eps=n^{-1/8}$ 以内。