冰山动力系统的符号复杂度下界

无限词 $W$ 的符号复杂度是函数 $p_W(l)$，用于统计 $W$ 中长度为 $l$ 的不同子词的数量。本文的主要目的是研究一类称为冰山系统的拓扑动力系统的复杂度，该系统由以下符号过程给出：从给定的有限词 $w_1$ 开始，构造词序列 $w_{n+1} = w_n \rho_{a_n(1)}(w_n)...\rho_{a_n(q_n-1)}(w_n)$，其中 $\rho_a(u)$ 是将词 $u$ 循环旋转 $a$ 个位置，并考虑将每个 $w_n$ 向右扩展得到的无限词 $W$。研究表明，对于由随机参数 $a_n(j)$ 给出的冰山系统，复杂度函数几乎必然满足估计 $p_W(l) > l^{3-\epsilon}$（对于任意 $\epsilon > 0$ 且 $l \ge l_0(\epsilon)$），同时观察到该估计在微小修正下代表了复杂度函数的最优下界，即在子序列 $l_n = |w_n|+1$ 上满足 $p_{w_{n+1}}(l_n) \le l_n^3$。