近似多项式时间：涵盖所有已知自然 NP 完全问题的易处理性概念

我们引入一种效率概念，可证明其适用于所有可填充语言(paddable languages)，同时仍与潜在的最坏情况难解性不冲突。请注意，可填充语言族显然包含所有已知的天然 NP 完全问题。我们称此概念为近似多项式时间(Roughly Polynomial Time, RoughP)。一个定义在至少包含两个符号字母表上的语言 $L$ 属于 RoughP，若满足以下条件：(1) 存在字符串的双射编码 $\alpha$，使得 $\alpha$ 及其逆均可在多项式时间内计算；(2) 存在一个多项式时间算法 $\cal A$，它是 $L$ 的无误差启发式算法，相对于 $\alpha$-球 $S^{(\alpha)}_n=\{\alpha(x)\,|\;\, |x|=n\}$ 具有指数级消失的失败率。这意味着，每当 $\cal A$ 输出决策时，总能正确判定 $x\in L$ 或 $x\notin L$。然而对于某些输入，它可能不输出决策，而是返回一个特殊标记，意为“不知道”。但后者仅可能发生在每个 $\alpha$-球中指数级小的分数上。我们证明 RoughP 包含所有可填充语言。这或许有助于解释在困难问题的实际算法性能与理论最坏情况分析之间经常观察到的鸿沟。此外，该证明还提供了构造所需编码与无误差启发式算法的一般方法。另外，我们也展示了如何将其用于高效生成任意可填充语言（包括所有已知天然 NP 完全问题）的大规模、随机、有保证的正例与负例测试实例。事实上，似乎每个实际决策任务（无论是否在 NP 中）均可由可填充语言表示，因此我们的 RoughP 框架适用于所有这些任务。我们还探讨了 RoughP 与其他复杂性类之间的某些联系。