完全有界分块多线性形式中的影响与量子算法的经典模拟

Aaronson-Ambainis 猜想（Theory of Computing '14）称，布尔超立方体上每个低次有界多项式都有一个有影响的变量。该猜想若成立，将意味着每个 $d$-查询量子算法的接受概率几乎处处（即几乎在所有输入上）可被一个 $\mathrm{poly}(d)$-查询经典算法良好近似。我们证明该猜想的一个特例：在每个具有常数方差的完全有界 $d$ 次分块多线性形式中，总存在一个影响至少为 $1/\mathrm{poly}(d)$ 的变量。某种意义上，此类多项式刻画了量子查询算法的接受概率，如 Arunachalam、Briët 与 Palazuelos（SICOMP '19）所示。作为推论，我们获得了针对一类特定量子算法（包含例如 $k$ 重 Forrelation）的高效经典几乎处处模拟。我们的主要技术结果依赖于与自由概率论的联系。