硬币定理与傅里叶展开

在本注记中，我们比较了（无条件）伪随机性中研究的布尔函数类 $\mathcal F$ 的复杂度的两种度量：$\mathcal F$ 区分有偏硬币与均匀硬币的能力（硬币问题），以及 $\mathcal F$ 中函数的傅里叶展开各层级的范数（傅里叶增长）。我们证明，对于低偏置 $\varepsilon = o(1/n)$ 的硬币，函数在硬币问题中的区分优势本质上等价于 $\varepsilon$ 乘以其第 $1$ 层傅里叶系数之和，这尤其表明某些感兴趣类（如常宽只读一次分支程序）已知的层级 $1$ 与总影响界实际上作为黑盒由相应的硬币定理推出，从而简化了文献中一些已知结果的证明。对于更高层级，众所周知傅里叶谱所有层级的傅里叶增长界可推出硬币定理，即便对大 $\varepsilon$ 亦如此，我们在此讨论其逆命题的可能性。