关于傅里叶变换的衰减与三项算术级数
数论
2007-05-23 v4 组合数学
摘要
在本文中，我们证明了一个基本定理，该定理指出，如果 f : F_p^n -> [0,1] 具有性质 ||f^||_(1/3) 不是太“大”（实际上，它对于用 1/2-\delta 代替 1/3 的拟范数也成立），并且 E(f) = p^{-n} \sum_m f(m) 不是太“小”，那么存在大量的三元组 m,m+d,m+2d 使得 f(m)f(m+d)f(m+2d) > 0。如果 f 是某个集合 S 的指示函数，那么这相当于说该集合具有许多三项算术级数。原则上，这个定理可以应用于密度非常低的集合，其中 |S| 大约为 p^{n(1-c)}，对于某个小的 c > 0。
引用
@article{arxiv.math/0607209,
title = {On the Decay of the Fourier Transform and Three Term Arithmetic Progressions},
author = {Ernie Croot},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0607209},
year = {2007}
}
备注
One small notational correction: In the paper I called ||f||_(1/3) a `norm', when in fact it should be 'quasinorm'. This does not affect any results, as I don't use the triangle inequality anywhere -- the 1/3 quasinorm was only used as a convenient way to state a corollary of one of my results