$\ell^{1}$-网格中的 Junta 与离散环面间的 Lipschitz 映射

我们证明，若 $A \subset [k]^n$，则 $A$ 在 $\ell^1$-网格中与一个至多依赖于 $\exp(O(|\partial A|/(k^{n-1}\epsilon)))$ 个坐标的 junta 相距 $\epsilon$，其中 $\partial A$ 表示 $A$ 在 $\ell^1$-网格中的边边界。该结果在指数中的绝对常数取值范围内是紧的。此结果可视为离散超立方体 Junta 定理 [E. Friedgut, Boolean functions with low average sensitivity depend on few coordinates, Combinatorica 18 (1998), 27-35] 的推广，或可视为对边边界较小的 $\ell^1$-网格大子集的刻画。我们利用它证明了两个离散环面之间 Lipschitz 函数结构的结论；这可视为 Austin 近期结果 [T. Austin, On the failure of concentration for the $\ell^{\infty}$-ball, preprint] 的离散定量类比。我们还证明了 Junta 定理的一个改进版本，其在更广泛的情形下是紧的。