集合族的两个结果：坚固性与交叉

本文解决了极值集合论中的两个开放问题。对于集合族 $\mathcal{F} \subseteq 2^{[n]}$ 和 $i, j\in [n]$，我们记 $\mathcal{F} (i,\bar{j})=\{F\backslash\{i\}: F\in \mathcal{F}, F\cap\{i,j\}=\{i\}\}$。集合族 $\mathcal{F}$ 的坚固性 $\beta (\mathcal{F})$ 定义为所有 $i\neq j$ 处 $\mathcal{F} (i,\bar{j})$ 大小的最小值。若满足交叉约束：$F\cap F'\neq \emptyset$ 对所有 $F,F'\in \mathcal{F}$，以及并集约束：$F\cup F' \neq [n]$ 对所有 $F,F'\in \mathcal{F}$，则称集合族 $\mathcal{F}$ 为 IU-族。著名的 IU-定理指出，任何 IU-族 $\mathcal{F}\subseteq 2^{[n]}$ 的大小至多为 $2^{n-2}$。本文证明若 $\mathcal{F}\subseteq 2^{[n]}$ 为 IU-族，则 $\beta (\mathcal{F})\le 2^{n-4}$。这确认了 Frankl 和 Wang 最近提出的猜想。作为第二个结果，我们给出交叉 t-交叉分离集合族大小之和的紧上界。该结果不仅扩展了 Frankl、Liu、Wang 和 Yang 关于分离集合族的前序定理，还为他们提出的开放问题提供了显式反例，从而以否定方式解决了该问题。