带覆盖数约束的交叉相交族

两个族 $\mathcal{F}$ 和 $\mathcal{G}$ 若满足每个族中的每个集合都相交，则称为交叉相交。族 $\mathcal{F}$ 的覆盖数 $\tau(\mathcal{F})$ 是能够相交 $\mathcal{F}$ 中每个成员的最小集合大小。1992 年，Frankl 和 Tokushige 确定了在交叉相交族 $\mathcal{F} \subset \binom{[n]}{a}$ 和 $\mathcal{G} \subset \binom{[n]}{b}$ 中 $|\mathcal{F}| + |\mathcal{G}|$ 的最大值，该结果要求两个族非空（覆盖数至少为 1），并给出了极值配置的特征。该/seminar 结果最近被 Frankl (2024) 和 Frankl 与 Wang (2025) 扩展到两个族皆非平凡（覆盖数至少为 2）或一个非空而另一个非平凡的情况。本文我们在一般覆盖数约束下建立了一个统一的稳定性层次结构。我们确定了在交叉相交族 $\mathcal{F} \subset \binom{[n]}{a}$ 和 $\mathcal{G} \subset \binom{[n]}{b}$ 中 $|\mathcal{F}| + |\mathcal{G}|$ 的最大值，其覆盖数约束为：(1) $\tau(\mathcal{F}) \geq s$ 且 $\tau(\mathcal{G}) \geq t$；(2) $\tau(\mathcal{F}) = s$ 且 $\tau(\mathcal{G}) \geq t \geq 2$；(3) $\tau(\mathcal{F}) \geq s$ 且 $\tau(\mathcal{G}) = t$；(4) $\tau(\mathcal{F}) = s$ 且 $\tau(\mathcal{G}) = t$；前提条件是 $a \geq b + t - 1$ 且 $n \geq \max\{a + b, bt\}$。我们还给出实现上界的相应极值族。