具有大覆盖数的均匀相交族

若与 $\mathcal F$ 中所有集合都相交的最小集合的大小等于 $\tau$，则称族 $\mathcal F$ 的覆盖数为 $\tau$。令 $M(n,k,\tau)$ 表示 $\{1,\ldots,n\}$ 的 $k$ 元子集构成的、具有覆盖数 $\tau$ 的最大相交族 $\mathcal F$ 的大小。Erd\H os 和 Lov\'{a}sz 的一个经典结果表明，对任意 $n$ 有 $M(n,k,k)\le k^k$。在这篇短文中，我们探讨了当 $n<k^2$ 且 $\tau$ 较大时 $M(n,k,\tau)$ 的行为。结果相当令人惊讶：例如，我们证明若 $n = \lfloor k^{3/2}\rfloor$ 且当 $k\to\infty$ 时 $\tau\le k-k^{3/4+o(1)}$，则 $M(n,k,\tau) =(1-o(1)){n-1\choose k-1}$；若 $n = \lfloor k^{3/2}\rfloor$ 且 $\tau>k-\frac 12k^{1/2}$，则 $M(n,k,\tau) <e^{-ck^{1/2}}{n\choose k}$。