树的所有最大稳定集的交及其悬挂顶点

图G中的稳定集是一组两两不相邻的顶点，$\alpha(G)$是G的最大稳定集的大小，而core(G)是其所有最大稳定集的交。本文中我们证明在阶$n>1$的树T中，任何大小大于或等于$n/2$的稳定集都至少包含一个悬挂顶点。由此我们推断树中的任何最大稳定集都至少包含一个悬挂顶点。我们的主要发现是如下定理：若T没有完美匹配，则core(T)中至少属于两个距离为偶数的悬挂顶点。虽然Levit和Mandrescu已证明若G是阶至少为2的连通二部图，则core(G)的大小不等于1，我们的新陈述揭示了树的所有最大稳定集之交的附加结构。上述断言改进了Hammer、Hansen和Simeone的一个结果（该结果称若图G的阶小于$2*\alpha(G)$，则core(G)非空），也改进了Jamison、Gunter、Hartnel和Rall以及Zito的一个结果（称对阶至少为2的树T，core(G)的大小不等于1）。