树的 $r$ 独立复数的顶点分解性

设 $G$ 为图且 $r \ge 1$。顶点子集称为 $r$ 独立的，如果其诱导子图的每个连通分支的大小最多为 $r$。所有此类子集的集合形成单纯形复合体，称为 $r$ 独立复合体 $\Ind_r(G)$，是经典独立复合体的推广。近期工作聚焦于这些复合体的 shellability 与顶点分解性。对于 chordal 图，$\Ind_r(G)$ 具有若个由球组成的 wedge 的同伦类型，对某些 chordal 子族而言，这些复合体甚至不是顺序 Cohen-Macaulay。因此，确定哪些 chordal 图类以及哪些 $r$ 值使得 $\Ind_r(G)$ 顺序 Cohen-Macaulay、可壳或顶点可分解，仍是活跃的研究领域。现有方法基于 chordal 超图或特殊图属性，无法推广到任意 chordal 图。在本文中，我们证明对于每个树 $T$ 和每个整数 $r \ge 1$，复合体 $\Ind_r(T)$ 是顶点可分解的，解决了 Abdelmalek 等人 [Conjecture 3.15, PD23chordal] 的猜想。我们的做法给出通过根植子树进行顶点脱落的结构描述，并用于递归证明顶点可分解性。