$r$共连通子图复杂、偶联性与Fr"oberg定理

我们引入了一种新的纯单纯复合体族，称为具有$A$的图$G$的$r$共连通复合体$\Sigma_r(A,G)$，其中$r\geq 1$为自然数，$G$为简单图，$A$为顶点子集。有趣的是，当$A$为空时，这个复合体正是$r$独立复合体的Alexander对偶。我们专注于揭示复合体拓扑与组合性质与其Alexander对偶复合体的代数与同调性质之间的关系。首先，我们证明当诱导子图$G[A]$连通且非空时，$\Sigma_r(A,G)$是顶点可分解的，从而为更高阶独立性通过Alexander对偶提供了 versatile的deletion-link计算。此外，当$A=\emptyset$且$r\geq 2$时，我们在多个重要图类中——包括chordal图、co-chordal图、cograph、cycle、cycle的补图以及特定网格图——建立了顶点可分解性、可厌害性和Cohen-Macaulay性质等价且由关联杂乱$\mathrm{Con}_r(G)$的共chordality精确刻画。这些结果将Fr"oberg定理扩展到这些图类的$r$连通理想的设置，并激励了关于$r$连通理想一般情况下的线性分辨率性质的猜想。我们还构建了分离可厌害性与顶点可分解性的例子。