不含长度为 4、5 和 6 的圈的良覆盖图

如果图 $G$ 的所有极大独立集具有相同的基数，则称 $G$ 为良覆盖图 (well-covered graph)。假设在其顶点上定义了权函数 $w$，若所有极大独立集具有相同的权重，则称 $G$ 为 $w$-良覆盖图。对于任意图 $G$，使得 $G$ 为 $w$-良覆盖图的权函数 $w$ 的集合构成一个向量空间。给定一个不含长度为 4、5 和 6 的圈的输入图 $G$，我们在多项式时间内刻画了使得 $G$ 为 $w$-良覆盖图的权函数 $w$ 的向量空间。设 $B$ 是 $G$ 的一个诱导完全二分子图，其二分顶点集为 $B_{X}$ 和 $B_{Y}$。假设存在一个独立集 $S$，使得 $S \cup B_{X}$ 和 $S \cup B_{Y}$ 均为 $G$ 的极大独立集。那么 $B$ 是 $G$ 的生成子图，并产生约束 $w(B_{X})=w(B_{Y})$. 已知对于任意权函数 $w$，若 $G$ 是 $w$-良覆盖图，则上述约束成立。在 $B_{X}=\{x\}$ 且 $B_{Y}=\{y\}$ 的特殊情况下，我们称 $xy$ 为关联边 (relating edge)。识别关联边和生成子图是一个 NP 完全问题。然而，我们提供了一种多项式算法，用于识别不含长度为 5、6 和 7 的圈的输入图中的生成子图。我们还提出了一种多项式算法，用于识别不含长度为 5 和 6 的圈的输入图中的关联边。