关于 Nosal 的一个定理

设 $G$ 为具有 $m$ 条边和谱半径 $\lambda_{1}$ 的图。令 $bk\left( G\right)$ 表示 $G$ 中带一条公共边的最大三角形数。1970 年 Nosal 证明若 $\lambda_{1}^{2}>m$，则 $G$ 含有一个三角形。本文中我们证明同一前提蕴含 $$bk\left( G\right) >\frac{1}{12}\sqrt[4]{m}.$$ 该结果解决了 Zhai、Lin 和 Shu 的一个猜想。记 $\lambda_{2}$ 为 $G$ 的第二大特征值。近来，Lin、Ning 和 Wu 证明若 $G$ 是阶至少为 3 的无三角形图，则 $$\lambda_{1}^{2}+\lambda_{2}^{2}\leq m,$$ 从而解决了 Bollob\'{a}s 与作者猜想的最简单情形。我们给出他们结果的一个更简单的证明。