图中三角形的最大数目及其在特殊 $p$-群中的应用

我们给出了具有固定边数的图中三角形数目的一个锐界。我们还刻画了达到三角形最大数目的图。利用三角形数目的上界，我们证明：若 $G$ 是秩为 $2 \leq k \leq \binom{d}{2}$ 的特殊 $p$-群，则 $|\mathcal{M}(G)| \leq p^{\frac{d(d+2k-1)}{2} - k- \binom{d}{3}+ \binom{r}{3} + \mybinom[.55]{ \binom{d}{2} - k - \binom{r}{2} }{2} }$，其中 $r$ 满足 $\binom{r}{2} \leq \binom{d}{2} -k < \binom{r+1}{2}$。我们还证明：若 $G$ 是类 $c \geq 3$ 的 $p$-群（$p \neq 2,3$），则 $|\mathcal{M}(G)| \leq p^{\frac{d(m-e)}{2}+(\delta-1)(n-m)-\max(0,\delta-2)-\max(1,\delta-3)}$；若 $G$ 是类 $c \geq 3$ 且余类为 $r$ 的 $p$-群，则 $|\mathcal{M}(G)| \leq p^{\frac{r^2-r}{2}+kr}$。