给定最大度图中匹配数的紧下界

设 $k \geq 3$。我们证明了关于图 $G$ 的匹配数 $\alpha'(G)$ 的以下三个界，图 $G$ 的阶为 $n$、大小为 $m$、最大度至多为 $k$。若 $k$ 为奇数，则 $\alpha'(G) \ge \left( \frac{k-1}{k(k^2 - 3)} \right) n \, + \, \left( \frac{k^2 - k - 2}{k(k^2 - 3)} \right) m \, - \, \frac{k-1}{k(k^2 - 3)}$。若 $k$ 为偶数，则 $\alpha'(G) \ge \frac{n}{k(k+1)} \, + \, \frac{m}{k+1} - \frac{1}{k}$。若 $k$ 为偶数，则 $\alpha'(G) \ge \left( \frac{k+2}{k^2+k+2} \right) m \, - \, \left( \frac{k-2}{k^2+k+2} \right) n \, - \frac{k+2}{k^2+k+2}$。本文实际上证明了上述的一个略微加强的版本，使得这些界对几乎所有图密度都是紧的。上述三个界事实上足以完整描述集合 $L_k$ 中实数对 $(\gamma,\beta)$ 的集合，具有以下性质：存在常数 $K$ 使得对所有最大度至多为 $k$ 的连通图 $G$ 有 $\alpha'(G) \geq \gamma n + \beta m - K$，其中 $n$ 和 $m$ 分别表示 $G$ 中的顶点数和边数。我们证明 $L_k$ 是一个凸集。进一步，若 $k$ 为奇数，则 $L_k$ 是两个闭半空间的交，且 $L_k$ 恰好有一个极值点；若 $k$ 为偶数，则 $L_k$ 是三个闭半空间的交，且恰好有两个极值点。