基于拉普拉斯特征值的图匹配数紧下界

设 $\alpha'$ 和 $\mu_i$ 分别表示具有 $n$ 个顶点的非空简单图 $G$ 的匹配数及其拉普拉斯矩阵的第 $i$ 小特征值。本文中,我们证明了一个紧下界 $$\alpha' \ge \min\left\{\Big\lceil\frac{\mu_2}{\mu_n} (n -1)\Big\rceil,\ \ \Big\lceil\frac{1}{2}(n-1)\Big\rceil \right\}.$$ 该界加强了 Brouwer 和 Haemers 的结果,他们证明了若 $n$ 为偶数且 $2\mu_2 \ge \mu_n$,则 $G$ 具有完美匹配。若对每顶点 $v\in V(G)$, $G-v$ 均有完美匹配,则称图 $G$ 为因子临界图。我们还通过证明若 $n$ 为奇数且 $2\mu_2 \ge \mu_n$,则 $G$ 为因子临界图,给出了上述 Brouwer 和 Haemers 结果的类比。我们利用 Haemers 的分离不等式得到一个有用的引理,这是证明中的关键思想。该引理本身具有独立意义并有其他应用。特别地,我们对气球数、生成偶子图以及有界度生成树的数量证明了类似结果。