图的最大反强制数的紧上界

设 $G$ 为具有完美匹配的简单图。Deng 和 Zhang 证明了 $G$ 的最大反强制数不超过圈数。本文得到了 $G$ 的最大反强制数的一个新上界，并研究了极值图。若 $G$ 有一个完美匹配 $M$，其反强制数达到该上界，则称 $G$ 为极值图，$M$ 为良完美匹配。我们得到了 $G$ 的良完美匹配的等价条件，并建立了良完美匹配与 $G$ 的边对合之间的一一对应，边对合是指二阶自同构 $\alpha$，使得对每个顶点 $v$，$v$ 与 $\alpha(v)$ 相邻。我们证明了所有极值图都可通过两种扩张运算从 $K_2$ 构造出来，且 $G$ 是极值的当且仅当 $G$ 的笛卡尔积分解中的一个因子是极值的。作为例子，完全图 $K_{2n}$ 和完全二部图 $K_{n, n}$ 的所有完美匹配都是良的。我们还证明了超立方体 $Q_n$、折叠超立方体 $FQ_n$ ($n\geq4$) 和增强超立方体 $Q_{n, k}$ ($0\leq k\leq n-4$) 分别恰好有 $n$、$n+1$ 和 $n+1$ 个良完美匹配。