完全多部图与稠密 $K_4$-自由图的 Bollobás--Nikiforov 猜想

Bollobás--Nikiforov 猜想断言，对于任意图 $G \neq K_n$，其边数为 $m$，团数为 $\omega(G)$，则 $$\lambda_1^2(G) + \lambda_2^2(G) \;\leq\; 2\!\left(1 - \frac{1}{\omega(G)}\right)m,$$ 其中 $\lambda_1(G) \geq \lambda_2(G) \geq \cdots \geq \lambda_n(G)$ 为 $G$ 的邻接特征值。我们证明了该猜想对所有满足 $n_1 + \cdots + n_r > r$ 的完全多部图 $K_{n_1,\ldots,n_r}$ 均成立。该证明通过特征方程计算了完整谱，证明了当图的顶点数多于部数时 $\lambda_2 = 0$，然后应用 Nikiforov 的谱 Turán 定理；当且仅当所有部大小相等时等号成立。我们还证明了对于谱半径接近 Turán 最大值的 $K_4$-自由图的稳定性结果：此类图在结构上接近平衡的完全三部图，由此可得当 $n$ 充分大时，该猜想对所有满足 $m = \Omega(n^2)$ 的 $K_4$-自由图均成立。最后，我们确定了阻止 Hoffman 界方法解决具有独立数 $\alpha(G) \geq n/3$ 的 $K_4$-自由图情形猜想的精确障碍。