西多连科猜想、染色与独立集

令$\hom(H,G)$表示从图$H$到图$G$的同态个数。西多连科猜想断言，对于任意二部图$H$和图$G$，有$$\hom(H,G)\geq v(G)^{v(H)}\left(\frac{\hom(K_2,G)}{v(G)^2}\right)^{e(H)},$$其中$v(H),v(G)$和$e(H),e(G)$分别表示图$H$和$G$的顶点数和边数。本文中，我们证明了西多连科猜想对于某些特殊图$G$成立：对于具有$q$个顶点的完全图$K_q$、对于在一个端点添加了一个环的$K_2$、以及对于每条顶点都添加了环的3顶点路径。这些情况对应于对图$H$的染色数、独立集和Widom-Rowlinson染色的计数。例如，对于二部图$H$，$q$-染色数$\textrm{ch}(H,q)$满足$$\textrm{ch}(H,q)\geq q^{v(H)}\left(\frac{q-1}{q}\right)^{e(H)}.$$事实上，我们将证明在最后两种情况（独立集和Widom-Rowlinson染色）下，图$H$不必是二部图。在所有情况下，我们首先证明某个相关不等式，它以更强的形式蕴含了西多连科猜想。