谱 Sidorenko 不等式与边谱超饱和

我们发展了谱方法来处理 Sidorenko 类型不等式，并将其应用于建立尖锐的边谱超饱和结果。设 $H$ 为具有 $v$ 个顶点和 $e$ 条边的二分图，其中 $v\le e$，记 $M(G)=2e(G)$。我们证明 Sidorenko 猜想等价于谱强化：$$\hom(H,G)\ge M(G)^e |V(G)|^{v-2e} \quad \text{if and only if } \quad \hom(H,G)\ge \lambda(G)^{2e-v}M(G)^{v-e}.$$ 我们还引入一种算子范数证书，via Riesz--Thorin 插值，给出几种情况下谱 Sidorenko 不等式的直接证明。等价定理的逆向方向通过张量幂谱正则化引理得到。作为应用，我们获得了完整二分图和偶数环的尖锐渐近边谱超饱和结果。设 $S_{t-1,m}$ 为由将一个极团 $K_{t-1}$ 与一个独立集联合而成的具有 $m$ 条边的分割图。对于任意 $m$ 条边的图 $G$，若 $\lambda(G)>\lambda(S_{t-1,m})$，则 \texttt{#} K_{t,t}(G) \ge \Big(\frac{2^{-(t-1)^2}}{(t!)^2}-o(1)\Big)m^t \quad \text{且}\quad \texttt{#}C_{2t}(G) \ge \Big(\frac{(t-1)!}{2t^t}-o(1)\Big)m^t. 两个常数都是最佳的：第一个在随机图中渐近达到，第二个在分割图中达到。超饱和证明结合谱 Sidorenko 不等式、重边修剪过程、Perron 向量局部分/去分离二分法以及关联矩阵不等式。