非平凡平方与 Sidorenko 猜想

设 $t(H;G)$ 为图 $H$ 到图 $G$ 的同态密度。Sidorenko 猜想断言：对任意二部图 $H$，对所有图 $G$ 有 $t(H;G)\geq t(K_2;G)^{|E(H)|}$。已知当 $H$ 为所谓平凡平方时，此类不等式无法经平方和方法来证明。本文中，我们考察关于 Sidorenko 猜想的近期结果，并区分其中涉及平凡与非平凡平方者。随后给出若干计算结果为：特别地，我们对边数不超过 7 的二部图 $H$ 进行分类，使得 $t(H;G)\geq t(K_2;G)^{|E(H)|}$ 具有平方和证明。接着讨论超出平凡平方的平方和证明的其他局限。