关于图的书本大小的两个谱猜想的进展

由Erdős引入的图$G$的书本大小$\mathrm{bk}(G)$是指$G$包含书本$B_r$作为子图的最大整数$r$。本文研究了与图的书本大小相关的谱图理论中的两个开放问题。首先，我们证明对于任意正整数$r$和任意$B_{r+1}$-自由图$G$，若其边数$m \geq (9r)^2$，则谱半径满足$\rho(G) \leq \sqrt{m}$。等号成立当且仅当$G$是完全二部图。这一结果将Nosal图（即满足$\rho(G) > \sqrt{m}$的图）的书本大小的下界从先前建立的$\mathrm{bk}(G) > \frac{1}{144}\sqrt{m}$改进为$\mathrm{bk}(G) > \frac{1}{9}\sqrt{m}$，这是Li、Liu和Zhang提出的书本大小猜想的一个重要进展。其次，我们证明对于任意正整数$r$和任意非二部$B_{r+1}$-自由图$G$，若其边数$m \geq (240r)^2$，则谱半径$\rho$满足$\rho^2<m-1+\frac{2}{\rho-1}$，除非$G$同构于某个$s\in\{1,\ldots,r\}$的$S^+_{m,s}$。这解决了Liu和Miao的猜想，并进一步揭示了一个有趣的现象：即使在较弱的谱条件$\rho^2\geq m-1+\frac2{\rho-1}$下，我们仍然可以推导出非二部图的书本大小的超饱和性。