固定边数图的谱极值：圈与完全二部图

Nikiforov [Some inequalities for the largest eigenvalue of a graph, Combin. Probab. Comput. 179--189] 指出，若 $G$ 是无 $K_{r+1}$ 的，则谱半径 $\rho(G)\leq\sqrt{2m(1-1/r)}$，这意味着当 $\rho(G)>\sqrt{m}$ 时 $G$ 含 $C_3$。本文沿此方向研究当 $\rho(G)> f(m)$（其中 $f(m)\sim\sqrt{m}$ 当 $m\rightarrow \infty$）时 $G$ 必含哪些子图。我们首先证明：若 $\rho(G)\geq \sqrt{m}$，则除星图外 $G$ 含 $K_{2,r+1}$；且除完全二部图外 $G$ 含 $C_3^+$ 或 $C_4^+$，其中 $C_t^+$ 表示由 $C_t$ 与 $C_3$ 通过识别一条边所得的图。其次，我们证明：若 $\rho(G)\geq{\frac12+\sqrt{m-\frac34}}$，则除书形图外 $G$ 含五边形与六边形；若 $\rho(G)>{\frac12(k-\frac12)+\sqrt{m+\frac14(k-\frac12)^2}}$，则对一切 $t\leq 2k+2$ 有 $G$ 含 $C_t$。最后，给出了若干相关猜想以供进一步研究。