Nikiforov 条件下颜色关键子图的计数

设图 $G$ 有 $m$ 条边，记其谱半径为 $\rho(G)$，记其 $F$ 子图个数为 $N_F(G)$。Nikiforov [Combin. Probab. Comput., 2002] 证明，对 $r\geq 2$，若 $\rho(G) > \sqrt{(1-1/r)2m}$，则 $N_{K_{r+1}}(G) \geq 1$。此外，Bollob\'{a}s 和 Nikiforov [J. Combin. Theory, Ser. B, 2007] 使用 $\rho(G)$ 建立了完全子图的计数不等式。本文将上述结果推广并加强至色数至少为4的任意颜色关键图 $F$。更准确地，我们证明，在 Nikiforov 条件下，图 $G$ 中 $F$ 的子图个数满足 $N_F(G) \geq (\gamma_F - o(1)) m^{(|F|-2)/2}$，其中 Leading term 与常数 $\gamma_F$ 均为最优。设 $F$ 为色数为 $r+1$ 的非星形图，$G$ 为足够大的图，满足 $N_F(G) = o(m^{|F|/2})$。为支持上述计数论证，我们初始采用渐进归纳法处理谱问题，证明对 $r \geq 3$，$\rho(G) \leq \sqrt{(1-1/r + o(1))2m}$；对 $r \in \{1,2\}$，$\rho(G) \leq \sqrt{(1+o(1))m}$。此外，我们建立了边谱超饱和的稳定性结果：具体而言，若 $r \geq 3$ 且 $\rho(G) \geq \sqrt{(1-1/r - o(1))2m}$，则 $G$ 与 $r$ 部图的 Tur\'{a}n 图相差 $o(m)$ 条边；若 $r \in \{1,2\}$ 且 $\rho(G) \geq \sqrt{(1 - o(1))m}$，则 $G$ 与完全二分图相差 $o(m)$ 条边。这意味着我们不仅强化了从 $F$ 免疫图到仅含少数 $F$ 子图的图的情形，还意味着经典的 Erdos-Simonovits 稳定性定理与现有谱稳定性定理。最后，我们提出若干计数相关的开放问题供进一步研究。