给定边数且含禁用子图的图的谱半径

设 $\rho(G)$ 为具有 $m$ 条边的图 $G$ 的谱半径。令 $S_{m-k+1}^{k}$ 为在 $K_{1,m-k}$ 的独立集内添加 $k$ 条不相交的边所得到的图。Nosal 定理指出，若 $\rho(G)>\sqrt{m}$，则 $G$ 包含一个三角形。Zhai 和 Shu 证明，任何边数 $m\geq26$ 且 $\rho(G)\geq\rho(S_{m}^{1})>\sqrt{m-1}$ 的非二部图 $G$ 包含一个四边形，除非 $G\cong S_{m}^{1}$ [M.Q. Zhai, J.L. Shu, Discrete Math. 345 (2022) 112630]。Wang 证明，若边数 $m\geq27$ 的图 $G$ 满足 $\rho(G)\geq\sqrt{m-1}$，则 $G$ 包含一个四边形，除非 $G$ 是四个例外图之一 [Z.W. Wang, Discrete Math. 345 (2022) 112973]。本文证明，任何边数 $m\geq51$ 且 $\rho(G)\geq\rho(S_{m-1}^{2})>\sqrt{m-2}$ 的非二部图 $G$ 包含一个四边形，除非 $G$ 是三个例外图之一。此外，我们证明，对于具有偶数边数 $m\geq74$ 的图 $G$，若 $\rho(G)\geq\rho(S_{\frac{m+4}{2},2}^{-})$，则 $G$ 包含一个 $C_{5}^{+}$，除非 $G\cong S_{\frac{m+4}{2},2}^{-}$。其中 $C_{t}^{+}$ 表示通过将 $C_{t}$ 和 $C_{3}$ 的一条边粘合得到的图，$S_{n,k}$ 表示将 $K_{k}$ 的每个顶点与 $n-k$ 个孤立顶点连接得到的图，$S_{n,k}^{-}$ 表示删除一条关联于某个二度顶点的边后得到的图。