寻找与计数子竞赛图的复杂性

我们研究了在大型竞赛图中寻找和计数小型竞赛图模式的复杂性。给定一个阶数为 $k$ 的固定竞赛图 $T$，我们记 ${\#}\text{IndSub}_{\text{To}}(\{T\})$ 为输入为竞赛图 $G$、任务为计算 $G$ 中与 $T$ 同构的子竞赛图数量的问题。此前，Yuster [Yus25] 证明了对于随机竞赛图 $T$，${\#}\text{IndSub}_{\text{To}}(\{T\})$ 难以计算。我们采用一种利用子图计数的线性组合 [CDM17] 的新方法，以获得对 ${\#}\text{IndSub}_{\text{To}}(\{T\})$ 复杂度的更精细分析。我们证明，对于所有阶数为 $k$ 的竞赛图 $T$，问题 ${\#}\text{IndSub}_{\text{To}}(\{T\})$ 的难度始终不低于计数 $\lfloor 3k/4 \rfloor$-团。这立即给出了在 ETH 下的紧界。进一步地，我们考虑 ${\#}\text{IndSub}_{\text{To}}(\mathcal{T})$ 的参数化版本，其中仅考虑模式 $T \in \mathcal{T}$，且以模式大小 $|V(T)|$ 为参数。我们证明，只要 $\mathcal{T}$ 包含无穷多个竞赛图，${\#}\text{IndSub}_{\text{To}}(\mathcal{T})$ 就是 #W[1]-难的。