由局部计数看竞赛图拟随机性

Chung 与 Graham 的一个著名定理指出，若 $h\geq 4$，则竞赛图 $T$ 是拟随机的当且仅当 $T$ 作为子竞赛图包含每个 $h$ 顶点竞赛图的“正确次数”。本文研究 $T$ 的拟随机性与单个 $h$ 顶点竞赛图 $H$ 在 $T$ 中的计数之间的关系。我们考虑两类计数：全局计数与局部计数。我们首先观察到，若 $T$ 具有 $H$ 的正确全局计数且 $h \geq 7$，则仅当 $H$ 为传递竞赛图时 $T$ 的拟随机性才被强制成立。研究拟随机对象时下一个自然的问题是：拥有 $H$ 的正确局部计数是否足以强制 $T$ 的拟随机性。若具有此性质，则称竞赛图 $H$ 为局部强制的。局部强制问题的变体此前已在图与超图情形中被研究。或许与我们问题最接近的类比由 Simonovits 与 Sós 考虑，他们考察是否具有固定图 $H$ 作为 $G$ 的诱导子图的“正确计数”意味着 $G$ 在适当意义下必为拟随机的。他们证明了当 $H$ 为正则图时确系如此，并猜想其对所有 $H$（除 3 顶点路径外）成立。与 Simonovits-Sós 猜想相反，在竞赛图情形下我们证明所有竞赛图中恒定比例的部分并非局部强制的。事实上，任何局部强制的竞赛图自身必为强拟随机的。另一方面，与全局强制情形不同，我们构造了非传递局部强制竞赛图的无穷族。