竞赛图的可分解性与余模指标

给定竞赛图 $T$，$T$ 的一个模是 $V(T)$ 的一个子集 $X$，使得对于 $x, y\in X$ 和 $v\in V(T)\setminus X$，有 $(x,v)\in A(T)$ 当且仅当 $(y,v)\in A(T)$。$T$ 的平凡模为 $\emptyset$、$\{u\}$ $(u\in V(T))$ 和 $V(T)$。若 $T$ 的所有模均为平凡模，则称竞赛图 $T$ 不可分解；否则称其可分解。$T$ 的可分解性指标记为 $\delta(T)$，为使 $T$ 变为不可分解所必须反转的最少弧数。第一作者猜想：对于 $n \geq 5$，有 $\delta(n) = \left\lceil \frac{n+1}{4} \right\rceil$，其中 $\delta(n)$ 为所有 $n$ 个顶点的竞赛图 $T$ 上 $\delta(T)$ 的最大值。本文通过引入竞赛图 $T$ 的余模指标（记为 $\Delta(T)$）证明了该猜想，$\Delta(T)$ 定义为 $T$ 的互不相交余模的最大个数，其中 $T$ 的余模是 $V(T)$ 的子集 $M$，使得 $M$ 或 $V(T) \setminus M$ 是 $T$ 的非平凡模。我们证明：对于 $n \geq 3$，有 $\Delta(n) = \left\lceil \frac{n+1}{2} \right\rceil$，其中 $\Delta(n)$ 为所有 $n$ 个顶点的竞赛图 $T$ 上 $\Delta(T)$ 的最大值。我们的主要结果是上述两个指标之间的如下紧密关系：对每一个至少有 $5$ 个顶点的竞赛图 $T$，有 $\delta(T) = \left\lceil \frac{\Delta(T)}{2} \right\rceil$。由此，对 $n \geq 5$ 得到 $\delta(n) = \left\lceil \frac{\Delta(n)}{2} \right\rceil = \left\lceil \frac{n+1}{4} \right\rceil$，并回答了若干进一步的相关问题。