弧着色竞赛图中的彩虹三角形

设 $T_{n}$ 为 $n$ 阶弧着色竞赛图。 $T_{n}$ 的最大单色入度 $\Delta^{-mon}(T_{n})$（相应地，出度 $\Delta^{+mon}(T_{n})$）是入射到 $T_{n}$ 某顶点的同色入弧（相应地，出弧）的最大数目。 $T_{n}$ 的不规则度 $i(T_{n})$ 是 $T_{n}$ 某顶点的入度与出度之间的最大差值。若弧着色有向图 $D$ 的子有向图 $H$ 中每对弧颜色互异，则称 $H$ 为彩虹的。本文中，我们证明在满足 $\Delta^{-mon}(T_n)\leq\Delta^{+mon}(T_n)$ 的弧着色竞赛图 $T_{n}$ 中，每个顶点 $v$ 至少包含在 $\frac{\delta(v)(n-\delta(v)-i(T_n))}{2}-[\Delta^{-mon}(T_{n})(n-1)+\Delta^{+mon}(T_{n})d^+(v)]$ 个彩虹三角形中，其中 $\delta(v)=\min\{d^+(v), d^-(v)\}$。我们还给出了 $T_{n}$ 包含彩虹三角形以及包含经过给定顶点的彩虹三角形的一些最大单色度条件。最后，我们给出若干例子表明我们结果中的某些条件是最佳可能的。